无限集合
# 无限集合
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集合中元素的数量从有限到无限,不仅仅是简单数量上的变化 (量变 ),而引起了本质的改变 (质变)]
有限 ➡️ 无限 相当于 量变 ➡️ 质变
可数集合与不可数集合均为无限集合
# 自然数集的定义
皮亚诺公理
1891 年, 意大利数学家皮亚诺公开发表了基于序数的自然数定义公理。这组公理包括:
是自然数; - 每个自然数
都有一个后继,这个后继也是一个自然数,记为 ; - 两个自然数相等当且仅当它们有相同的后继,即
当且仅当 ; - 没有任何自然数的后继是
;
归纳公理
若
为真; - 当
为真,则有 为真
则对任意自然数 都成立
冯·诺依曼的自然数定义
20 世纪初,集合成为数学的基本概念之后, 冯·诺依曼基于基数,利用一个集合的序列来定义自然数:
- 若
, 则
从而,这个集合序列的基数就可以用来定义自然数:
由此冯·诺依曼定义的自然数集与实际的自然数集一一对应
- 可以通过判断两个集合之间是否存在”一一对应“的关系来比较它们的”大小“,由此引入”等势“的概念
表示恒等于
# 等势
等势的定义
- 设
为两个集合,若在 之间存在一种一一对应的关系: - 则称
与 是等势的 (equipotential),记作:
- 则称
定理 1.3.1
- 两个有限集合等势当且仅当它们具有相同的元素个数
- 有限集合不和其任何真子集等势
# 可数集合
可数集合的定义
凡与自然数集合
常见可数集合及其证明
试证明下列集合都是可数集合.
- 有理数集合
证明: 正奇数集合
是可数集合 证明素数集合
是可数集合 证明有理数集合
是可数集合 中的任何元素均可表示为 ( 是整数,且 ) 的形式,可将其排为一个有序图形
定理 1.3.1
可数集合与其可数的真子集等势
- 两个无限集合的“大小”已经不能单纯使用集合中的元素个数来衡量。
表示一切可数集合的基数,是一种抽象的表达 - 表面上个数完全不相等的两个集合之间仍可能存在等势关系,如可数集合与其可数的真子集之间,这体现了有限集合和无限集合的根本差别
# 不可数集合
不可数集合的定义
开区间
不可数集合的示例
闭区间
是不可数集合 实数集合
是不可数集合
可数集合与不可数集合均为无限集合,有限集合是元素个数有限的集合
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