特殊集合与集合间的关系
# 特殊集合与集合的关系
课件
视频教程
# 空集
- 不含任何元素的集合叫做空集(empty set),记作
- 空集可以符号化为
- 空集可以符号化为
示例
, 则
空集是绝对唯一的
所有集合的空集均相同
# 全集
- 针对一个具体范围,我们考虑的所有对象的集合叫做全集(universal set),记作
或 。在文氏图一般使用方形表示全集。
示例
- 在立体几何中,全集是由空间的全体点组成的
- 在我国的人口普查中,全集是由我国所有人组成的
全集是相对唯一的
不同集合的全集可能不相同
# 集合的相等关系
- 元素的基本性质
- 集合中的元素是无序的
与 相同
- 集合中的元素是不同的
与 相同
- 集合中的元素是无序的
示例
- 设
, - 可见
和 具有相同的元素 , 此时称两个集合相等
- 可见
外延性定理
两个集合
# 子集和真子集
示例
- 设
- 此时
中含有 中所有的元素,这种情况称为 包含
子集和真子集的定义
设
- 如果
的每个元素都是 中的元素,则称 是 的子集 - 也称做
被 包含或 包含 - 记作
,否则记作
- 也称做
- 如果
并且 ,则称 是 的真子集 - 也称做
被 真包含或 真包含 - 记作
,否则记作
- 也称做
- 文氏图
子集的数学描述
子集的性质
示例
- 已知
,可得 , 同时
# 证明集合相等
重要定理
设
证明两个集合相等的基本框架
# n 元素的子集
子集计算示例
设
,求出 的所有子集 由于
,因而 的子集可能包含的元素个数 , 即没有任何元素,也就是空集 , 从 中任取 个元素,则有 个: , 从 中任取 个元素,则有 个: , 从 中任取 个元素,则有 个: - 以上
个集合就是 的所有子集
- 以上
n 元素集合的子集计算
对于任意
直观理解
直观上理解是集合中的每个元素在新集合中都有出现和不出现两种选择,总的可能即为
排列组合及二项展开式
# 幂集
幂集的定义
设
为任意集合,把 的所有不同子集构成的集合叫做 的幂集(power set), 记作 ,即 - 由定义可得:
- 由定义可得:
幂集也叫做集族或集合的集合,对集族的研究在数学方面、知识库和表处理语言以及人工智能等方面都有十分重要的意义
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