反码与补码加法的理解
# 反码加法循环进位与补码加法的理解
反码与补码的加法,从大一的时候学大学计算机基础,就很迷,逻辑上总是不能说服自己。最近自学计算机组成原理,又碰到这个问题。看到书中的一句话,突然豁然开朗,摘录如下:
"我常说:当你能衡量你正在谈论的东西并能用数字加又表达时,你才真的对它有了充分子解;而当你还不能衡量,也不能用数字表达时,你的了解就是肤浅的和不能令人满意的。尽管了解也许是认知的开始,但在思想上很难说你已经进入了科学的阶段。" -- Lord Kelvin
理解这个问题,首先引入位置表示法的定义:
# 位置表示法的定义
一个
位的整数 会按下面的形式书写: 其中
是与基数 的幂相乘的系数,即有下式成立 对于负数,则会在其前面加上负号
,即 对于二进制,则
- 例:十进制数
, 表示为 位二制数分别为: ,
- 例:十进制数
人们一般习惯在位置码上进行运算,但计算机不习惯,而且计算机底层不可能用负号来表示负数,更不可能让负号参与运算,因此引入了原码,反码和补码的概念
# 原码的定义
原码的定义主要是为了引入符号位
此时设一个
位的二进制数, 其按位置表示法为 ,则其原码定义如下: 对于用
位二进制表示的 来说,其原码计算为原 码 需要注意的是,位置表示法中的负号也会参与运算
# 反码的定义
反码的定义如下:
反 码 对于用
位二进制表示的 来说,其反码计算为反 码
# 补码的定义
补码的定义如下:
补 码 对于用
位二进制表示的 来说,其补码计算为补 码
# 反码加法的循环进位推导
设有两个
位的二进制数, 其按位置表示法分别为 则其反码运算为, ,为了取得与位置表示法运算等效的结果,需要满足下式反 码 反 码 反 码 反 码 反 码 - 依据此式,即可进行分类讨论
, 此时 (1) 式中左右两边显然成立 异号,此时:
- 若
, 则 $ [X+Y]_{反码} = X + Y $- 此时 (2) 式会溢出,舍去其最高位(相当于减去
), 再加上 ,即可得到对应的结果,跟循环进位的操作匹配
- 此时 (2) 式会溢出,舍去其最高位(相当于减去
- 若
, 则 $ [X+Y]_{反码} = X + Y + 2^n -1 $,与 (2) 式对应- 由于
,此时(2) 式不会产生进位
- 由于
, 此时有
而
- 此时(4)式会溢出,将(4)式加
再舍掉进位 ,即可得到(3)式中的结果
综合 1, 2, 3 即可得到反码加法的循环进位规则
- 补码加法与原码加法的推导基本相同,可得出补码加法与位置表示法的加法相同
- 虽然推导时是按加法,但是由于
没有预设符号,所以易证对减法也等效 - 按照相同的推导方法,也可以得出用原码加减法时,负数符号位会参与运算,从而很难与原位置表示法的加减法对应起来
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